牛吃草问题(消长问题)

知识魔灯慕联小燕 2021-06-09 浏览量（1543）

【慕联导读】

慕联导读（简介）：

牛顿问题又称牛吃草问题或消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度是固定不变的，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。

正文

英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？

一、解题关键

解题环节主要有四步：

1、求出每天长草量；

2、求出牧场原有草量；

3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量-生长的草量=消耗原有的草量)；

4、最后求出牛可吃的天数。

这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，类似于60头牛1天吃的草，平均分到(22-10)天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中一部分吃掉新长出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。

设一头牛1天吃的草为一份。

那么10头牛22天吃草为1×10×22=220(份)

16头牛10天吃草为1×16×10=160(份)

（220-160）÷（22-10）=5(份)，说明牧场上一天长出新草5份

220-5×22=110（份)，说明原有老草110份

综合算式：110÷（25-5）=5.5(天)，就能算出一共多少天。

二、题目解法

在牧草不生产的条件下，如果12头公牛在4个星期内吃掉由格尔（当时牛顿想出问题并解出答案的地方）的牧草，则按比例36头公牛4个星期内，或16头公牛9个星期内，或8头公牛18个星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的5周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的4个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14＝：7。如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供8头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。

代数解法：

牛顿设由格尔草地一个星期内新长出的牧草相当于面积为y由格尔的草地，又每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积是相等的。根据题意，设若所求的公牛头数为x，就为（＋×4y）÷(12×4)=(10+10×9y)÷(21×9)＝(24+24×18y)÷18x，解得x=36，即36头公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。